Thứ Hai, Tháng Chín 27, 2021
Trang chủKiến ThứcCông thức tính nhanh đạo hàm của một số hàm số thường...

Công thức tính nhanh đạo hàm của một số hàm số thường gặp

công thức đạo hàm thường gặp

Hàm số bậc nhất/bậc nhất:

f(x)=ax+bcx+d⇒f′(x)=ad−bc(cx+d)2.

Hàm số bậc hai/bậc nhất:

f(x)=ax2+bx+cmx+n⇒f′(x)=amx2+2anx+bn−cm(mx+n)2.

Hàm số đa thức bậc ba:

f(x)=ax3+bx2+cx+d⇒f′(x)=3ax2+2bx+c.

Hàm số trùng phương:

f(x)=ax4+bx2+c⇒f′(x)=4ax3+2bx.

Hàm số chứa căn bậc hai:

f(x)=u(x)⇒f′(x)=u′(x)2u(x).

Hàm số chứa trị tuyệt đối:

Đạo hàm giá trị tuyệt đối của |x| là gì?

Tính đạo hàm của hàm số chứa giá trị tuyệt đối y = |x|?

Sử dụng công thức đạo hàm chuỗi nha bạn, công thức có dạng như sau:

y=f(g)⇒y′=[f(g)]′g′(1)

Muốn áp dụng công thức này trước hết, chuyển |x| về dạng căn, ta có |x|⇔x2, do đó, đề bài của bạn có thể được viết lại như sau:

y=x2

Rồi áp dụng quy tắc đạo hàm chuỗi theo công thức như ban đầu mình đã nêu với:

  • f(g)=x2⇒[f(g)]′=12×2 (sử dụng công thức đạo hàm của căn x nha)
  • g=x2⇒g′=2x

Thế kết quả vào (1), đạo hàm của y sẽ bằng:

y′=12x22x

Rút gọn số 2 ở tử và mẫu đi, ta có đáp án:

y′=xx2=x|x|

Tại sao g′=2x ạ? Ai giải thích dùm e với.

Cho mình hỏi |x|=√2^2 là công thức hay từ đâu ra vậy ạ

Từ công thức đấy bạn ơi, trên wiki về giá trị tuyệt đối cũng có nhắc tới mệnh đề này.

Bạn cũng có thể sử dụng công thức đạo hàm theo định nghĩa chuẩn để tính đạo hàm của hàm số y = |x|,

limΔx→0f(x+Δx)−xΔx

Thay giá trị |x| vào, đạo hàm của y sẽ được tính bằng,

y′=limΔx→0|x+Δx|−|x|Δx(1)

Nhìn vào biểu thức đạo hàm trên, bạn có thể thấy rằng đạo hàm sẽ không xác định tại vị trí Δx=0, bởi vì hàm số y = |x| là một hàm số không liên tục và có dạng,

y={xnếu x≥0−xnếu x<0

nếu vẽ đồ thị của hàm số y = |x|, bạn sẽ thấy rõ hơn,

Đồ thị hàm số y = |x|

Cho nên, chúng ta không thể thay trực tiếp Δx=0 vào (1) để tính được, chúng ta cần biến đổi thành một dạng khác để mẫu khác 0 khi thay Δx=0 vào là được, có nhiều cách làm, mình sẽ làm như sau,

Thứ nhất, đưa phương trình về dạng căn của bình phương, bởi vì chúng ta biết rằng |x|=x2,

(1)⇔limΔx→0(x+Δx)2−x2Δx

Thứ hai, nhân tử và mẫu cho (x+Δx)2+x2 mục đích để khử trường hợp mẫu bằng 0,

⇔limΔx→0((x+Δx)2−x2)((x+Δx)2+x2)Δx((x+Δx)2+x2)

Tới đây, bạn có thể tính toán nhân chia cộng trừ bình thường được rồi, mình sẽ tiếp tục,

⇔limΔx→0(x+Δx)2+x2(x+Δx)2−x2(x+Δx)2−x2Δx((x+Δx)2+x2)⇔limΔx→0(x+Δx)2−x2Δx((x+Δx)2+x2)⇔limΔx→0x2+2xΔx+Δx2−x2Δx((x+Δx)2+x2)⇔limΔx→02xΔx+Δx2Δx((x+Δx)2+x2)⇔limΔx→0(2xΔxΔx((x+Δx)2+x2)+Δx2Δx((x+Δx)2+x2))⇔limΔx→0(2x(x+Δx)2+x2+Δx(x+Δx)2+x2)⇔limΔx→02x+Δx(x+Δx)2+x2(2)

Vì Δx tiến tới 0, và sau một hồi biến đổi, bạn có thể thay Δx=0 vào (2), ta được,

=2xx2+x2=2x2x2=xx2=x|x|

mình còn thấy có sách ghi thêm trường hợp âm, khi u(X) là hàm nghịch biến. bạn nào giải thích giùm mình với

Xem thêm: Mã bưu điện của 63 tỉnh thành

Kết quả câu trả lời của bạn @Đức FC và @Quang Thiên rất chính xác nhưng nó nói chung cho mọi trường hợp của x, mình xin viết lại kết quả đạo hàm giá trị tuyệt đối của x là x|x| (theo câu trả lời của bạn @Đức FC) thành một dạng khác cho những bạn nào cảm thấy khó hiểu, về ý nghĩa thì hoàn toàn giống nhau nhé.

y′={1nếu x>0−1nếu x<0(1)∄nếu x=0

Với  có nghĩa là không xác định hoặc không tồn tại. Tại sao mình có thể viết như thế được? Đó là kết quả của việc mình sử dụng khái niệm giới hạn trái và giới hạn phải để tính đạo hàm thay vì biến đổi như bạn @Đức FC (đó cũng chỉ là một trong tính chất của giới hạn thôi)

Mình sẽ làm như sau,

Xét trường hợp x >0 thì:

y=x⇒y′=1(2)

Xét trường hợp x < 0 thì:

y=−x⇒y′=−1(3)

Xét trường hợp x = 0, tương tự như trên, theo định nghĩa công thức đạo hàm, bạn dễ dàng nhận thấy khi x tiến tới 0, đạo hàm không xác định, và mình sẽ sử dụng khái niệm giới hạn trái – phải để chứng minh là nó không xác định tại x=0,

Tính giới hạn phải,

y′(0+)=limx→0+=f(x)−f(0+)x−0+=limx→0+x−0x−0=limx→0+xx=1

Tính giới hạn trái,

y′(0−)=limx→0−=f(x)−f(0−)x−0−=limx→0−−x−0x−0=limx→0−−xx=−1

Do giới hạn phải khác với giới hạn trái tại x=0,

y′(0+)=1≠y′(0−)=−1⇒∄y′(0)(4)

Cho nên không tồn tại đạo hàm tại x=0. Từ (2)(3) và (4) suy ra được biểu thức (1) là kết quả cần tìm

Ý nghĩa của việc x tiến tới 0+ và x tiến tới 0− là sao vậy @trungkfc02, làm ơn giải thích rõ hơn

Rất đơn giản,

  • x→0+ tức là x tiến từ các số lớn hơn 0 về gần nhưng không bằng 0, tức là từ bên phải về, cho nên gọi là giới hạn phải.
  • x→0− tức là x tiến từ các số nhỏ hơn 0 về gần nhưng không bằng 0, tức là từ bên trái về, cho nên gọi là giới hạn trái.

Nhìn trên trục số bạn sẽ rõ hơn,

Trục số giới hạn trái và giới hạn phải

RELATED ARTICLES

BÌNH LUẬN

Vui lòng nhập bình luận của bạn
Vui lòng nhập tên của bạn ở đây

Most Popular

Recent Comments